北大数院校友成果登数学四大顶刊，偏微分方程突破，可用于W-GAN( 二 )

据顾险峰教授介绍，这几年随着医学图像技术、无线通讯技术、3D打印技术、VR/AR技术的发展，以蒙日-安培方程为代表的非线性偏微分方程理论，开始广泛用于CS和其他工程领域。
那么，这次陈世炳教授等人发表在《数学年刊》上的研究，究竟做出了什么突破？
打破二十多年的“定论”
研究一个方程的重要思路，就是研究解的性质。
蒙日-安培方程理论也不例外，它主要研究解的存在性、唯一性和光滑性（正则性）。
光滑性（正则性）通常用来描述函数的光滑程度。如果一个函数是光滑的，这个函数在数学定义上无穷可导。
其中，存在性证明已经由Alexandrov给出，而弱解（某种精确定义的意义下满足该方程的解）的唯一性也已经得到证明。

文章图片
对光滑性的研究，自1996年来却一直局限在某些条件下。
1996年， Caffarelli在他里程碑式的工作中，证明了当两个区域是一致凸、密度函数光滑的时候，最优传输解光滑。
然而这里有一些限制条件：两个区域一致凸、密度函数光滑。
二十多年来，领域里的专家几乎都认为这些条件（尤其是区域一致凸）必不可少。
但陈世炳等人在这次的研究中，去掉了两区域一致凸条件，甚至降低了对边界的光滑性要求，证明了自然边界条件下蒙日-安培方程的整体光滑性。
这对于蒙日-安培方程的研究来说，是一大进步，相当于把一个定理的范围扩大到了更广泛的领域。
作者介绍

文章图片
作者陈世炳，现在任中国科学技术大学数学系特任教授，博士生导师。
据镇海中学梓荫山下微博账号消息，陈世炳是宁波镇海中学2001届校友。
镇海中学是浙江省强校，除了陈世炳，还有包括IOI金牌得主罗煜翔等人也出自这里。
陈世炳本硕毕业于北京大学数学系，博士毕业于加拿大多伦多大学。
曾先后在美国国家数学科学研究所和澳洲国立大学任博士后，与菲尔茨奖得主AlessioFigalli以及澳大利亚科学院院士汪徐家教授有长期合作。
他的主要研究领域为非线性偏微分方程，除了蒙日-安培方程之外也在曲率流、不等式以及LpMinkowski问题方面取得了若干成果，目前已发表SCI论文十余篇。

文章图片
【北大数院校友成果登数学四大顶刊，偏微分方程突破，可用于W-GAN】作者刘佳堃，澳大利亚伍伦贡大学数学与应用统计学院教授，本科毕业于浙江大学，曾获陈省身数学奖学金。

文章图片
作者汪徐家，澳大利亚科学院院士，曾获华人数学最高奖“晨兴数学奖”金奖，同样在蒙日-安培方程上有深入研究，尤其是其中的正则性理论。
据顾险峰教授介绍，他与合作者给出了Ma-Trudinger-Wang条件，来限定密度函数，传输代价和概率测度支集的几何性质，从而保证最优传输映射的光滑性。
同时，他还厘清了反射曲面设计、自由曲面透镜设计等价于球面上的最优传输问题，也等价于球面上的蒙日-安培方程。
国内学者在这一方程上的突破历程，可以说是非常精彩了。
—完—