12！是多少？世界上最美丽的函数——γ函数，数学皇冠上的明珠

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你最喜欢的函数是什么？如果你的答案不是伽马函数，那么我将在你读完这篇文章后再问你一次。你的答案可能会变。
介绍在18世纪20年代后期，莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler）正在思考如何将阶乘扩展到非整数范围。这是一个被科学界广泛应用的理论的开端。
莱昂哈德·欧拉无疑是历史上最伟大的数学家之一。为了让你们对欧拉有个大致的了解，这里有几个例子可以证明他的才华。
首先，欧拉有出色的记忆力。他能从头到尾背诵维吉尔的《埃涅阿斯纪》，《埃涅阿斯纪》共有9896行。
欧拉也非常多产。在他的一生中，他发表了大约3万页的论文，约占18世纪发表的科学论文的三分之一！其中许多页是在他失明时写的，因此，欧拉被称为数学中的贝多芬。贝多芬听不到他的音乐。同样，欧拉也看不到他的计算。
实际上，欧拉对自己视力的丧失相当乐观。他曾说过这样的话：
这样我就不会分心了。
事实上，当他失明后，他更加多产了。
欧拉是一位伟大的数学家，他思考了如何扩展阶乘函数。我会向你们展示他的研究成果以及这些成果的惊人特性。在本文的后面，我将揭示我们如何赋予1/2！意义并给出它的值。
阶乘在继续之前，我们先回想一下阶乘是什么。
它只是前n个自然数的乘积。

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例如：

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阶乘在数学中很重要的一个原因是它代表了我们排列事物的方式的数量。假设你的书架上有12本书。你可以用多少种方式来排列它们？这个问题的答案是12！大约是4.79亿种方式。
从这个例子中可以看到，阶乘函数增长得非常快。事实上，它以超指数增长。也就是说，它的增长速度快于指数增长。
γ函数真正使欧拉伟大的是他解决问题的方式。我们很快就会看到，那通常是非常有创造性的思路和非常聪明的“外星”想法。
1738年，欧拉把阶乘推广成一个由某个积分定义的函数形式，即：

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其中， log是自然对数（有时记为ln）。
通过替换s=exp(-t) ，其中exp是以e为底的指数函数，我们得到：

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因此我们得出了一个惊人的事实：

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为了证明这个积分实际上是阶乘，我们把右边的积分称为Π(n) ，我们做一些偏积分：

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这是一个很好的函数方程，它使我们能够用归纳法来证明这个公式。
我们要证明Π(n)=n！对所有自然数n都成立。
首先，请注意：

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即Π(1)=1=1！。
接下来，假设Π(n-1)=(n-1)！。然后有：

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这里我们用了上面的函数方程。
用归纳法，证明就完成了。
注意，在以上Π(n)的定义中， n不一定是一个自然数。这个表达式对于所有具有非负实部的复数都有意义。
处理这些广义阶乘的现代方法是通过伽马函数。伽马函数非常类似于Π函数，它的定义如下：